L 1 ( R n ) L^1(\R^n) L 1 ( R n ) \gdef\leq{\leqslant} \gdef\geq{\geqslant} \gdef\lrb#1{\lbrace#1\rbrace} \gdef\norm#1{\Vert#1\Vert} \gdef\F{\mathcal{F}} \gdef\T{\mathcal{T}} \gdef\intrn{\int_{\R^n}} \gdef\ip{2\pi i}
定义 设f ∈ L 1 ( R n ) f\in L^1(\R^n) f ∈ L 1 ( R n ) ( F f ) ( ξ ) = f ^ ( ξ ) = ∫ R n f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x , ∀ ξ ∈ R n (\F f)(\xi)=\hat{f}(\xi)=\intrn f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}dx,\forall\xi\in\R^n ( F f ) ( ξ ) = f ^ ( ξ ) = ∫ R n f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x , ∀ ξ ∈ R n F f ( ξ ) \F f(\xi) F f ( ξ ) f ^ \hat{f} f ^ f f f
例1 R 1 \R^1 R 1 f ( x ) = X [ a , b ] ( x ) f(x)=\Chi_{[a,b]}(x) f ( x ) = X [ a , b ] ( x ) f ^ ( ξ ) = ∫ R f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x = ∫ b a e − 2 π i x ξ d x \hat f(\xi)=\int_\R f(x)e^{-\ip x\cdot\xi}dx=\int^a_be^{-\ip x\xi}dx f ^ ( ξ ) = ∫ R f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x = ∫ b a e − 2 π i x ξ d x f ^ ( ξ ) = { b − a ξ = 0 e − 2 π i a ξ − e − 2 π i b ξ 2 π i ξ ξ ≠ 0
\hat f(\xi)=\begin{cases}
b-a &\xi=0\\
\frac{e^{-\ip a\xi}-e^{-\ip b\xi}}{\ip\xi}&\xi\neq0
\end{cases}
f ^ ( ξ ) = { b − a 2 π i ξ e − 2 π i a ξ − e − 2 π i b ξ ξ = 0 ξ = 0 R 1 \R^1 R 1 f ( x ) = e − π x 2 ( x ∈ R ) f(x)=e^{-\pi x^2}~(x\in\R) f ( x ) = e − π x 2 ( x ∈ R ) f ^ ( ξ ) = ∫ R e − π x 2 e − 2 π i x ξ d x = ∫ R e − π ( x 2 + 2 i x ξ ) d x = ∫ R e − π ( x + i ξ ) 2 + π ( i ξ ) 2 = e − π ξ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − π ( x + i ξ ) 2 d x = e − π ξ 2 ∫ i ξ − ∞ i ξ + ∞ e − π z 2 d z = e − π ξ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − π x 2 d x = e − π ξ 2
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi)=\int_\R e^{-\pi x^2}e^{-\ip x\xi}dx
&=\int_\R e^{-\pi(x^2+2ix\xi)}dx\\
&=\int_\R e^{-\pi(x+i\xi)^2+\pi(i\xi)^2}\\
&=e^{-\pi\xi^2}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\pi(x+i\xi)^2}dx\\
&=e^{-\pi\xi^2}\int_{i\xi-\infty}^{i\xi+\infty}e^{-\pi z^2}dz\\
&=e^{-\pi\xi^2}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\pi x^2}dx\\
&=e^{-\pi\xi^2}
\end{aligned}
f ^ ( ξ ) = ∫ R e − π x 2 e − 2 π i x ξ d x = ∫ R e − π ( x 2 + 2 i x ξ ) d x = ∫ R e − π ( x + i ξ ) 2 + π ( i ξ ) 2 = e − π ξ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − π ( x + i ξ ) 2 d x = e − π ξ 2 ∫ i ξ − ∞ i ξ + ∞ e − π z 2 d z = e − π ξ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − π x 2 d x = e − π ξ 2 f ( ⋅ ) = e − π ( ⋅ ) 2 f(\cdot)=e^{-\pi(\cdot)^2} f ( ⋅ ) = e − π ( ⋅ ) 2 f ^ ( ⋅ ) = e − π ( ⋅ ) 2 \hat{f}(\cdot)=e^{-\pi(\cdot)^2} f ^ ( ⋅ ) = e − π ( ⋅ ) 2
例3 f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , x ∈ R , f ∈ L 1 ( R ) f(x)=e^{-2\pi|x|},x\in\R,f\in L^1(\R) f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , x ∈ R , f ∈ L 1 ( R ) f ^ ( ξ ) = ∫ R e − 2 π ∣ x ∣ e − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ 0 e 2 π x − 2 π i x ξ d x + ∫ 0 + ∞ e − 2 π x − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ 0 e 2 π ( 1 − i ξ ) x d x + ∫ 0 + ∞ e − 2 π ( 1 + i ξ ) x d x = 1 2 π ( 1 − i ξ ) e 2 π ( 1 − i ξ ) x ∣ − ∞ 0 + 1 − 2 π ( 1 + i ξ ) e − 2 π ( 1 + i ξ ) x ∣ 0 + ∞ = 1 2 π ( 1 − i ξ ) + 1 2 π ( 1 + i ξ ) = 1 π 1 1 + ξ 2
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi)&=\int_\R e^{-2\pi|x|}e^{-\ip x\xi}dx\\
&=\int^0_{-\infty}e^{2\pi x-\ip x\xi}dx+\int^{+\infty}_0e^{-2\pi x-\ip x\xi}dx\\
&=\int^0_{-\infty}e^{2\pi(1-i\xi)x}dx+\int^{+\infty}_0e^{-2\pi(1+i\xi)x}dx\\
&=\frac{1}{2\pi(1-i\xi)}e^{2\pi(1-i\xi)x}\Big|^0_{-\infty}+\frac{1}{-2\pi(1+i\xi)}e^{-2\pi(1+i\xi)x}\Big|^{+\infty}_0\\
&=\frac{1}{2\pi(1-i\xi)}+\frac{1}{2\pi(1+i\xi)}\\
&=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+\xi^2}
\end{aligned}
f ^ ( ξ ) = ∫ R e − 2 π ∣ x ∣ e − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ 0 e 2 π x − 2 π i x ξ d x + ∫ 0 + ∞ e − 2 π x − 2 π i x ξ d x = ∫ − ∞ 0 e 2 π ( 1 − i ξ ) x d x + ∫ 0 + ∞ e − 2 π ( 1 + i ξ ) x d x = 2 π ( 1 − i ξ ) 1 e 2 π ( 1 − i ξ ) x ∣ ∣ ∣ ∣ − ∞ 0 + − 2 π ( 1 + i ξ ) 1 e − 2 π ( 1 + i ξ ) x ∣ ∣ ∣ ∣ 0 + ∞ = 2 π ( 1 − i ξ ) 1 + 2 π ( 1 + i ξ ) 1 = π 1 1 + ξ 2 1 F = f ( x 1 . . . x n ) g ( x n + 1 . . . x n + m ) F=f(x_1...x_n)g(x_{n+1}...x_{n+m}) F = f ( x 1 . . . x n ) g ( x n + 1 . . . x n + m ) F ^ = f ^ + g ^ \hat F=\hat f+\hat g F ^ = f ^ + g ^
例4 f ( x ) = e − π ∣ x ∣ , x ∈ R n , x = ( x 1 , . . . , x n ) , ∣ x ∣ 2 = x 1 2 + . . . + x n 2 f(x)=e^{-\pi|x|},x\in\R^n,x=(x_1,...,x_n),|x|^2=x^2_1+...+x_n^2 f ( x ) = e − π ∣ x ∣ , x ∈ R n , x = ( x 1 , . . . , x n ) , ∣ x ∣ 2 = x 1 2 + . . . + x n 2 f ^ = ∏ i = 1 n e − π x i 2 ^ ( ξ i ) = ∏ i = 1 n e − π ξ i 2 = e − π ∣ ξ ∣ 2 \hat{f}=\displaystyle\prod^n_{i=1}\widehat{e^{-\pi x_i^2}}(\xi_i)=\prod^n_{i=1}e^{-\pi\xi_i^2}=e^{-\pi|\xi|^2} f ^ = i = 1 ∏ n e − π x i 2 ( ξ i ) = i = 1 ∏ n e − π ξ i 2 = e − π ∣ ξ ∣ 2
例5 f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , x ∈ R n , f ^ ( ξ ) = c n 1 ( 1 + ∣ ξ ∣ 2 ) n + 1 2 , ∀ ξ ∈ R n f(x)=e^{-2\pi|x|},x\in\R^n,\hat{f}(\xi)=c_n\frac{1}{(1+|\xi|^2)^\frac{n+1}{2}},\forall\xi\in\R^n f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , x ∈ R n , f ^ ( ξ ) = c n ( 1 + ∣ ξ ∣ 2 ) 2 n + 1 1 , ∀ ξ ∈ R n
一些记号：1 ∘ 1^\circ 1 ∘ ( τ y f ) ( x ) = f ( x − y ) , ∀ x , y ∈ R n (\tau_yf)(x)=f(x-y),\forall x,y\in\R^n ( τ y f ) ( x ) = f ( x − y ) , ∀ x , y ∈ R n 2 ∘ 2^\circ 2 ∘ ( δ a f ) ( x ) = f ( a x ) , x ∈ R n (\delta_af)(x)=f(ax), x\in\R^n ( δ a f ) ( x ) = f ( a x ) , x ∈ R n a > 0 a>0 a > 0 3 ∘ 3^\circ 3 ∘ f ~ ( x ) = f ( − x ) , ∀ x ∈ R n \widetilde{f}(x)=f(-x),\forall x\in\R^n f ( x ) = f ( − x ) , ∀ x ∈ R n 4 ∘ 4^\circ 4 ∘ f ε ( x ) = ε − n f ( ε − 1 x ) = ε − n ( δ ε − 1 f ) ( x ) f_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}f(\varepsilon^{-1}x)=\varepsilon^{-n}(\delta_{\varepsilon^{-1}}f)(x) f ε ( x ) = ε − n f ( ε − 1 x ) = ε − n ( δ ε − 1 f ) ( x ) 5 ∘ 5^\circ 5 ∘ α , β , α = ( α 1 , . . . , α n ) ∈ N n , α 1 , . . . , α n ∈ N = { 0 , 1 , . . . } \alpha,\beta,\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\N^n,\alpha_1,...,\alpha_n\in\N=\lrb{0,1,...} α , β , α = ( α 1 , . . . , α n ) ∈ N n , α 1 , . . . , α n ∈ N = { 0 , 1 , . . . } ∣ α ∣ = α 1 + . . . + α n |\alpha|=\alpha_1+...+\alpha_n ∣ α ∣ = α 1 + . . . + α n α ⩽ β ⇔ α i ⩽ β i , ∀ i = 1 , . . . , n \alpha\leq\beta\lrArr\alpha_i\leq\beta_i,\forall i=1,...,n α ⩽ β ⇔ α i ⩽ β i , ∀ i = 1 , . . . , n β − α = ( β 1 − α 1 , . . . , β n − α n ) \beta-\alpha=(\beta_1-\alpha_1,...,\beta_n-\alpha_n) β − α = ( β 1 − α 1 , . . . , β n − α n ) ∂ x α = ∂ x 1 α 1 . . . ∂ x n α n \partial^\alpha_x=\partial^{\alpha_1}_{x_1}...\partial^{\alpha_n}_{x_n} ∂ x α = ∂ x 1 α 1 . . . ∂ x n α n x α = x 1 α 1 . . . x n α n ， ( a x ) α = a ∣ α ∣ x α x^\alpha=x_1^{\alpha_1}...x_n^{\alpha_n}，(ax)^\alpha=a^{|\alpha|}x^\alpha x α = x 1 α 1 . . . x n α n ， ( a x ) α = a ∣ α ∣ x α 6 ∘ 6^\circ 6 ∘ M h f ( ξ ) = e − i h f ( ξ ) M_hf(\xi)=e^{-ih}f(\xi) M h f ( ξ ) = e − i h f ( ξ )
基本性质：f , g ∈ L 1 ( R n ) , y ∈ R n , b ∈ C , α f,g\in L^1(\R^n),y\in\R^n,b\in\mathbb C,\alpha f , g ∈ L 1 ( R n ) , y ∈ R n , b ∈ C , α ∥ f ^ ∥ L ∞ ⩽ ∥ f ∥ L 1 \norm{\hat f}_{L^\infty}\leq\norm{f}_{L^1} ∥ f ^ ∥ L ∞ ⩽ ∥ f ∥ L 1 f + g ^ = f ^ + g ^ \widehat{f+g}=\hat f+\hat g f + g = f ^ + g ^ b f ^ = b f ^ \widehat{bf}=b\hat f b f = b f ^ f ~ ^ = f ^ ~ \hat{\widetilde{f}}=\widetilde{\hat f} f ^ = f ^ f ‾ ^ = f ^ ~ ‾ \hat{\overline{f}}=\overline{\widetilde{\hat{f}}} f ^ = f ^ τ y f ^ ( ξ ) = e − 2 π i y ⋅ ξ f ^ ( ξ ) = M 2 π y ξ f ^ ( ξ ) \widehat{\tau_yf}(\xi)=e^{-\ip y\cdot\xi}\hat{f}(\xi)=M_{2\pi y\xi}\hat{f}(\xi) τ y f ( ξ ) = e − 2 π i y ⋅ ξ f ^ ( ξ ) = M 2 π y ξ f ^ ( ξ ) e 2 π i x y f ( x ) ^ ( ξ ) = ( τ y f ^ ) ( ξ ) \widehat{e^{\ip xy}f(x)}(\xi)=(\tau_y\hat{f})(\xi) e 2 π i x y f ( x ) ( ξ ) = ( τ y f ^ ) ( ξ ) δ t f ^ ( ξ ) = t − n f ^ ( t − 1 ξ ) = ( f ^ ) t ( ξ ) = f ( t ⋅ ) ^ ( ξ ) \widehat{\delta_tf}(\xi)=t^{-n}\hat{f}(t^{-1}\xi)=(\hat{f})_t(\xi)=\widehat{f(t\cdot)}(\xi) δ t f ( ξ ) = t − n f ^ ( t − 1 ξ ) = ( f ^ ) t ( ξ ) = f ( t ⋅ ) ( ξ ) ∂ x α f ^ ( ξ ) = ( 2 π i ξ ) α f ^ ( ξ ) = ( 2 π i ) ∣ α ∣ ξ α f ^ ( ξ ) , ∂ x α f ∈ L 1 \widehat{\partial^\alpha_xf}(\xi)=(\ip\xi)^\alpha\hat{f}(\xi)=(\ip)^{|\alpha|}\xi^\alpha\hat{f}(\xi),\partial^\alpha_xf\in L^1 ∂ x α f ( ξ ) = ( 2 π i ξ ) α f ^ ( ξ ) = ( 2 π i ) ∣ α ∣ ξ α f ^ ( ξ ) , ∂ x α f ∈ L 1 ( − 2 π i x ) α f ( x ) ^ ( ξ ) = ∂ ξ α f ^ ( ξ ) \widehat{(-\ip x)^\alpha f(x)}(\xi)=\partial^\alpha_\xi\hat{f}(\xi) ( − 2 π i x ) α f ( x ) ( ξ ) = ∂ ξ α f ^ ( ξ ) f ∗ g ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) \widehat{f\ast g}(\xi)=\hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi) f ∗ g ( ξ ) = f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) f ∗ g ^ ( ξ ) = ∫ R n ( f ∗ g ) ( x ) e − 2 π i x ξ d x = ∫ R n ∫ R n f ( x − y ) g ( y ) d y e − 2 π i x ξ d x ( F u b i n i ) = ∫ R n ( ∫ R n f ( x − y ) e − 2 π i ( x − y ) ξ e − 2 π i y ξ d x ) g ( y ) d y = ∫ R n ( ∫ R n f ( x − y ) e − 2 π i ( x − y ) ξ d x ) e − 2 π i y ξ g ( y ) d y = ∫ R n f ^ ( ξ ) e − 2 π i y ξ g ( y ) d y = f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ )
\begin{aligned}
\widehat{f\ast g}(\xi)&=\intrn (f\ast g)(x)e^{-\ip x\xi}dx\\
&=\intrn \intrn f(x-y)g(y)dye^{-\ip x\xi}dx~~(Fubini)\\
&=\intrn (\intrn f(x-y)e^{-\ip(x-y)\xi}e^{-\ip y\xi}dx)g(y)dy\\
&=\intrn (\intrn f(x-y)e^{-\ip(x-y)\xi}dx)e^{-\ip y\xi}g(y)dy\\
&=\intrn \hat{f}(\xi)e^{-\ip y\xi}g(y)dy\\
&=\hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi)
\end{aligned}
f ∗ g ( ξ ) = ∫ R n ( f ∗ g ) ( x ) e − 2 π i x ξ d x = ∫ R n ∫ R n f ( x − y ) g ( y ) d y e − 2 π i x ξ d x ( F u b i n i ) = ∫ R n ( ∫ R n f ( x − y ) e − 2 π i ( x − y ) ξ e − 2 π i y ξ d x ) g ( y ) d y = ∫ R n ( ∫ R n f ( x − y ) e − 2 π i ( x − y ) ξ d x ) e − 2 π i y ξ g ( y ) d y = ∫ R n f ^ ( ξ ) e − 2 π i y ξ g ( y ) d y = f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ )
定理 若f ∈ L 1 ( R n ) f\in L^1(\R^n) f ∈ L 1 ( R n ) f ^ ∈ C 0 ( R n ) = { f ∈ C ( R n ) ∣ lim ∣ x ∣ → ∞ f ( x ) = 0 } \hat{f}\in C_0(\R^n)=\lrb{f\in C(\R^n)|\lim\limits_{|x|\rarr\infty}f(x)=0} f ^ ∈ C 0 ( R n ) = { f ∈ C ( R n ) ∣ ∣ x ∣ → ∞ lim f ( x ) = 0 } ∥ f ∥ C 0 = sup x ∈ R n ∣ f ( x ) ∣ \norm{f}_{C_0}=\sup_{x\in\R^n}|f(x)| ∥ f ∥ C 0 = sup x ∈ R n ∣ f ( x ) ∣ f f f
证明：1 ∘ 1^\circ 1 ∘ f ^ \hat{f} f ^ R n \R^n R n ∀ x , h ∈ R n , \forall x,h\in\R^n, ∀ x , h ∈ R n , f ^ ( x + h ) − f ^ ( x ) = ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y ( x + h ) d y − ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x d y = ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x ( e − 2 π i y h − 1 ) d y = ( ∫ ∣ r ∣ ⩽ r + ∫ ∣ y ∣ > r ) f ( y ) e − 2 π i y x ( e − 2 π i y h − 1 ) d y = I 1 ( h , x ) + I 2 ( h , x )
\begin{aligned}
&\hat{f}(x+h)-\hat{f}(x)\\
&=\intrn f(y)e^{-\ip y(x+h)}dy-\intrn f(y)e^{-\ip yx}dy\\
&=\intrn f(y)e^{-\ip yx}(e^{-\ip yh}-1)dy\\
&=(\int_{|r|\leq r}+\int_{|y|>r})f(y)e^{-\ip yx}(e^{-\ip yh}-1)dy\\
&=I_1(h,x)+I_2(h,x)
\end{aligned}
f ^ ( x + h ) − f ^ ( x ) = ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y ( x + h ) d y − ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x d y = ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x ( e − 2 π i y h − 1 ) d y = ( ∫ ∣ r ∣ ⩽ r + ∫ ∣ y ∣ > r ) f ( y ) e − 2 π i y x ( e − 2 π i y h − 1 ) d y = I 1 ( h , x ) + I 2 ( h , x ) ∣ I 2 ∣ ⩽ ∫ ∣ y ∣ > r ∣ f ( y ) ∣ 2 d y |I_2|\leq\int_{|y|>r}|f(y)|2dy ∣ I 2 ∣ ⩽ ∫ ∣ y ∣ > r ∣ f ( y ) ∣ 2 d y ∀ ε > 0 , ∃ r 0 > 0 s . t . ∀ 0 < r ⩽ r 0 \forall\varepsilon>0,\exist r_0>0~s.t.~\forall0<r\leq r_0 ∀ ε > 0 , ∃ r 0 > 0 s . t . ∀ 0 < r ⩽ r 0 ∫ ∣ y ∣ > r ∣ f ( y ) ∣ d y < ε \int_{|y|>r}|f(y)|dy<\varepsilon ∫ ∣ y ∣ > r ∣ f ( y ) ∣ d y < ε f ∈ L 1 , ∫ ∣ y ∣ > r f ( y ) d y → 0 ( r → + ∞ ) f\in L^1,\int_{|y|>r}f(y)dy\rarr0~(r\rarr+\infty) f ∈ L 1 , ∫ ∣ y ∣ > r f ( y ) d y → 0 ( r → + ∞ ) r = r 0 r=r_0 r = r 0 ∣ I 2 ( r 0 , h ) ∣ < ε , ∀ h , x ∈ R n |I_2(r_0,h)|<\varepsilon,\forall h,x\in\R^n ∣ I 2 ( r 0 , h ) ∣ < ε , ∀ h , x ∈ R n I 1 = I 1 ( r 0 , h ) = ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 f ( y ) e − 2 π i x y ( e − 2 π i h y − 1 ) d y I_1=I_1(r_0,h)=\int_{|y|\leq r_0}f(y)e^{-\ip xy}(e^{-\ip hy}-1)dy I 1 = I 1 ( r 0 , h ) = ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 f ( y ) e − 2 π i x y ( e − 2 π i h y − 1 ) d y { ∣ y ∣ ⩽ r 0 } \lrb{|y|\leq r_0} { ∣ y ∣ ⩽ r 0 } ε > 0 , ∃ δ 0 > 0 s . t . ∀ ∣ h ∣ < δ 0 , ∣ e − 2 π i h y − 1 ∣ < ε , ∀ ∣ y ∣ ⩽ r 0 i . e . e − 2 π i h y − 1 ⇉ 0 i n { ∣ y ∣ ⩽ r 0 } \varepsilon>0,\exist\delta_0>0~s.t.~\forall|h|<\delta_0,|e^{-\ip hy}-1|<\varepsilon,\forall |y|\leq r_0~i.e.~e^{-\ip hy}-1\rightrightarrows0~ in~ \lrb{|y|\leq r_0} ε > 0 , ∃ δ 0 > 0 s . t . ∀ ∣ h ∣ < δ 0 , ∣ e − 2 π i h y − 1 ∣ < ε , ∀ ∣ y ∣ ⩽ r 0 i . e . e − 2 π i h y − 1 ⇉ 0 i n { ∣ y ∣ ⩽ r 0 } ⇒ ∣ I 1 ∣ ⩽ ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 ∣ f ( y ) ∣ ∣ e − 2 π i h y − 1 ∣ ⩽ ε ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 ∣ f ( y ) ∣ d y < ε ∥ f ∥ L 1 \rArr|I_1|\leq\int_{|y|\leq r_0}|f(y)||e^{-\ip hy}-1|\leq\varepsilon\int_{|y|\leq r_0}|f(y)|dy<\varepsilon\norm{f}_{L^1} ⇒ ∣ I 1 ∣ ⩽ ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 ∣ f ( y ) ∣ ∣ e − 2 π i h y − 1 ∣ ⩽ ε ∫ ∣ y ∣ ⩽ r 0 ∣ f ( y ) ∣ d y < ε ∥ f ∥ L 1 ⇒ ∣ I 1 ∣ + ∣ I 2 ∣ < ( 1 + ∥ f ∥ L 1 ) ε ( ∀ x ∈ R n ) \rArr|I_1|+|I_2|<(1+\norm{f}_{L^1})\varepsilon~(\forall x\in\R^n) ⇒ ∣ I 1 ∣ + ∣ I 2 ∣ < ( 1 + ∥ f ∥ L 1 ) ε ( ∀ x ∈ R n ) i . e . ∣ f ^ ( x + h ) − f ^ ( x ) ∣ ⇉ 0 ( ∣ h ∣ → 0 , x ∈ R n ) i.e.~|\hat{f}(x+h)-\hat{f}(x)|\rightrightarrows0~(|h|\rarr0,x\in\R^n) i . e . ∣ f ^ ( x + h ) − f ^ ( x ) ∣ ⇉ 0 ( ∣ h ∣ → 0 , x ∈ R n )
2 ∘ 2^\circ 2 ∘ f ∈ L 1 ( R n ) f\in L^1(\R^n) f ∈ L 1 ( R n ) lim ∣ ξ ∣ → ∞ f ^ ( ξ ) = 0 \lim\limits_{|\xi|\rarr\infty}\hat{f}(\xi)=0 ∣ ξ ∣ → ∞ lim f ^ ( ξ ) = 0 f ( x ) = X [ a , b ] ( x ) o n R n , f ^ ( ξ ) { e − 2 π i ξ a − e − 2 π i ξ b 2 π i ξ ξ ≠ 0 b − a ξ = 0 f(x)=\Chi_{[a,b]}(x)~on~\R^n,\hat{f}(\xi)\begin{cases}\frac{e^{-\ip \xi a}-e^{-\ip \xi b}}{\ip\xi}&\xi\neq0\\b-a &\xi=0\end{cases} f ( x ) = X [ a , b ] ( x ) o n R n , f ^ ( ξ ) { 2 π i ξ e − 2 π i ξ a − e − 2 π i ξ b b − a ξ = 0 ξ = 0 ∀ ∣ ξ ∣ ⩾ 1 , 0 < ∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ 2 2 π ∣ ξ ∣ = 1 π ∣ ξ ∣ → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) \forall|\xi|\geq1,0<|\hat{f}(\xi)|\leq\frac{2}{2\pi|\xi|}=\frac{1}{\pi|\xi|}\rarr0~(|\xi|\rarr\infty) ∀ ∣ ξ ∣ ⩾ 1 , 0 < ∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ 2 π ∣ ξ ∣ 2 = π ∣ ξ ∣ 1 → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) g ( x 1 , . . . , x n ) = ∏ j = 1 n X [ a j , b j ] ( x ) o n R n g(x_1,...,x_n)=\displaystyle\prod^n_{j=1}\Chi_{[a_j,b_j]}(x)~on~\R^n g ( x 1 , . . . , x n ) = j = 1 ∏ n X [ a j , b j ] ( x ) o n R n ⇒ g ^ ( ξ 1 . . . ξ n ) = ∏ j = 1 n X [ a j , b j ] ^ ( ξ j ) ⇒ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) \rArr\hat{g}(\xi_1...\xi_n)=\displaystyle\prod^n_{j=1}\widehat{\Chi_{[a_j,b_j]}}(\xi_j)\rArr|\hat{g}(\xi)|\rarr0(|\xi|\rarr\infty) ⇒ g ^ ( ξ 1 . . . ξ n ) = j = 1 ∏ n X [ a j , b j ] ( ξ j ) ⇒ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) g g g ∣ g ^ ( ξ ) ∣ → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) |\hat{g}(\xi)|\rarr0~(|\xi|\rarr\infty) ∣ g ^ ( ξ ) ∣ → 0 ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) ∀ f ∈ L 1 ( R n ) \forall f\in L^1(\R^n) ∀ f ∈ L 1 ( R n ) ∑ f i n i t e \sum_{finite} ∑ f i n i t e L 1 ( R n ) L^1(\R^n) L 1 ( R n ) ∀ ε > 0 , ∃ g = \forall\varepsilon>0,\exist g= ∀ ε > 0 , ∃ g = ∑ f i n i t e \sum_{finite} ∑ f i n i t e s . t . f = g + h s.t.~f=g+h s . t . f = g + h ∥ h ∥ L 1 < ε \norm{h}_{L^1}<\varepsilon ∥ h ∥ L 1 < ε ∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) + f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ + ∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ + ∥ h ∥ L 1 < 2 ε ( ∣ ξ ∣ → ∞ )
\begin{aligned}
|\hat{f}(\xi)|\leq|\hat{g}(\xi)+\hat{f}(\xi)|&\leq|\hat{g}(\xi)|+|\hat{f}(\xi)|\\
&\leq|\hat{g}(\xi)|+\norm{h}_{L^1}\\
&<2\varepsilon\quad(|\xi|\rarr\infty)
\end{aligned}
∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) + f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ + ∣ f ^ ( ξ ) ∣ ⩽ ∣ g ^ ( ξ ) ∣ + ∥ h ∥ L 1 < 2 ε ( ∣ ξ ∣ → ∞ ) ⇒ lim ∣ ξ ∣ → + ∞ f ^ ( ξ ) = 0 \rArr\lim\limits_{|\xi|\rarr+\infty}\hat{f}(\xi)=0 ⇒ ∣ ξ ∣ → + ∞ lim f ^ ( ξ ) = 0
问题：∀ g ∈ C 0 ( R n ) , ∃ f ∈ L 1 ( R n ) s . t . f ^ = g \forall g\in C_0(\R^n),\exist f\in L^1(\R^n)~s.t.~\hat{f}=g ∀ g ∈ C 0 ( R n ) , ∃ f ∈ L 1 ( R n ) s . t . f ^ = g
定理（乘法公式）设f , g ∈ L 1 ( R n ) f,g\in L^1(\R^n) f , g ∈ L 1 ( R n ) ∫ R n f ^ ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n f ( x ) g ^ ( x ) d x \intrn \hat{f}(x)g(x)dx=\intrn f(x)\hat{g}(x)dx ∫ R n f ^ ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n f ( x ) g ^ ( x ) d x
证明：∫ R n f ^ ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n 1 ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x d y g ( x ) d x = ∫ R n × R n f ( y ) e − 2 π i y x g ( x ) d y d x ( T o n e l l i ) = ∫ R n ( ∫ R n g ( x ) e − 2 π i y x d x ) f ( y ) d y ( F u b i n i ) = ∫ R n g ^ ( y ) f ( y ) d y = ∫ R n f ( x ) g ^ ( x ) d x
\begin{aligned}
\intrn \hat{f}(x)g(x)dx&=\intrn 1\intrn f(y)e^{-\ip yx}dy~g(x)dx\\
&=\int_{\R^n\times\R^n}f(y)e^{-\ip yx}g(x)dydx~~(Tonelli)\\
&=\intrn (\intrn g(x)e^{-\ip yx}dx)f(y)dy~~(Fubini)\\
&=\intrn \hat{g}(y)f(y)dy=\intrn f(x)\hat{g}(x)dx
\end{aligned}
∫ R n f ^ ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n 1 ∫ R n f ( y ) e − 2 π i y x d y g ( x ) d x = ∫ R n × R n f ( y ) e − 2 π i y x g ( x ) d y d x ( T o n e l l i ) = ∫ R n ( ∫ R n g ( x ) e − 2 π i y x d x ) f ( y ) d y ( F u b i n i ) = ∫ R n g ^ ( y ) f ( y ) d y = ∫ R n f ( x ) g ^ ( x ) d x
例 Poisson核. f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , f ^ ( y ) = Γ ( n + 1 2 ) π − n + 1 2 1 ( 1 + ∣ y ∣ 2 ) n + 1 2 f(x)=e^{-2\pi|x|},\hat{f}(y)=\Gamma(\frac{n+1}{2})\pi^{-\frac{n+1}{2}}\frac{1}{(1+|y|^2)^\frac{n+1}{2}} f ( x ) = e − 2 π ∣ x ∣ , f ^ ( y ) = Γ ( 2 n + 1 ) π − 2 n + 1 ( 1 + ∣ y ∣ 2 ) 2 n + 1 1
δ a f ( y ) ^ = a − n f ^ ( a − 1 y ) = ( f ^ ( y ) ) a − 1 \widehat{\delta_af(y)}=a^{-n}\hat{f}(a^{-1}y)=(\hat{f}(y))_{a^{-1}} δ a f ( y ) = a − n f ^ ( a − 1 y ) = ( f ^ ( y ) ) a − 1
定理（Fourier变换的逆）若f ∈ L 1 ( R n ) , f ^ ∈ L 1 ( R n ) f\in L^1(\R^n),\hat{f}\in L^1(\R^n) f ∈ L 1 ( R n ) , f ^ ∈ L 1 ( R n ) T ( F f ) ( x ) = F ( T f ) ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n \T(\F f)(x)=\F(\T f)(x)=f(x)~a.e.~x\in\R^n T ( F f ) ( x ) = F ( T f ) ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n T g ( x ) = ∫ R n g ( y ) e 2 π i y x d y = g ^ ( − x ) ( ∀ g ∈ L 1 ) \T g(x)=\intrn g(y)e^{\ip yx}dy=\hat{g}(-x)~(\forall g\in L^1) T g ( x ) = ∫ R n g ( y ) e 2 π i y x d y = g ^ ( − x ) ( ∀ g ∈ L 1 )
注：T F f = f , ∀ f ∈ L 1 i . e . T F = I d \T\F f=f,\forall f\in L^1~i.e.~\T\F=Id T F f = f , ∀ f ∈ L 1 i . e . T F = I d F T f = f i . e . F T = I d ⇒ T \F\T f=f~i.e.~\F\T=Id\rArr\T F T f = f i . e . F T = I d ⇒ T F \F F F − 1 \F^{-1} F − 1
注意，( f ^ ) ˇ = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π i y x d y = ∫ R n ( ∫ R n f ( z ) e − 2 π i y z d z ) e 2 π i x y d y = ∫ R n ( ∫ R n e − 2 π i y ( z − x ) d y ) f ( z ) d z
\begin{aligned}
(\hat{f})^{\check{}}&=\intrn \hat{f}(y)e^{\ip yx}dy\\
&=\intrn(\intrn f(z)e^{-\ip yz}dz)e^{\ip xy}dy\\
&=\intrn(\intrn e^{-\ip y(z-x)}dy)f(z)dz
\end{aligned}
( f ^ ) ˇ = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π i y x d y = ∫ R n ( ∫ R n f ( z ) e − 2 π i y z d z ) e 2 π i x y d y = ∫ R n ( ∫ R n e − 2 π i y ( z − x ) d y ) f ( z ) d z e 2 π i y x ∉ L 1 e^{\ip yx}\notin L^1 e 2 π i y x ∈ / L 1 ∫ R n e − 2 π i y ( z − x ) d y \intrn e^{-\ip y(z-x)}dy ∫ R n e − 2 π i y ( z − x ) d y
证明：1 ∘ ∀ ε > 0 1^\circ~\forall\varepsilon>0 1 ∘ ∀ ε > 0 φ x ( ξ ) = e 2 π i x ξ e − π ε 2 ∣ ξ ∣ 2 = e 2 π i x ξ δ ε ( e − π ∣ ξ ∣ 2 ) , ∀ x , ξ ∈ R n \varphi_x(\xi)=e^{\ip x\xi}e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}=e^{\ip x\xi}\delta_\varepsilon(e^{-\pi|\xi|^2}),\forall x,\xi\in\R^n φ x ( ξ ) = e 2 π i x ξ e − π ε 2 ∣ ξ ∣ 2 = e 2 π i x ξ δ ε ( e − π ∣ ξ ∣ 2 ) , ∀ x , ξ ∈ R n ⇒ φ x ^ ( y ) = ε − n e − π ∣ y − x ε ∣ 2 = g ε ( x − y ) \rArr\widehat{\varphi_x}(y)=\varepsilon^{-n}e^{-\pi|\frac{y-x}{\varepsilon}|^2}=g_\varepsilon(x-y) ⇒ φ x ( y ) = ε − n e − π ∣ ε y − x ∣ 2 = g ε ( x − y ) g ( x ) = e − π ∣ x ∣ 2 g(x)=e^{-\pi|x|^2} g ( x ) = e − π ∣ x ∣ 2 2 ∘ ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n φ x ^ ( y ) f ( y ) d y = ∫ R n g ε ( x − y ) f ( y ) d y = ( g ε ∗ f ) ( x ) 2^\circ~\intrn\varphi_x(\xi)\hat{f}(\xi)d\xi=\intrn\widehat{\varphi_x}(y)f(y)dy=\intrn g_\varepsilon(x-y)f(y)dy=(g_\varepsilon\ast f)(x) 2 ∘ ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n φ x ( y ) f ( y ) d y = ∫ R n g ε ( x − y ) f ( y ) d y = ( g ε ∗ f ) ( x )
另一方面，∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n e − π ε ∣ ξ ∣ 2 e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ \intrn\varphi_x(\xi)\hat{f}(\xi)d\xi=\intrn e^{-\pi\varepsilon|\xi|^2}e^{\ip x\xi}\hat{f}(\xi)d\xi ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n e − π ε ∣ ξ ∣ 2 e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ lim ε → 0 ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n lim ε → 0 e − π ε ∣ ξ ∣ 2 e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ = F − 1 ( f ^ ) ( x ) = F − 1 ( F f ) ( x ) ( ∀ x ∈ R n )
\begin{aligned}
\lim_{\varepsilon\rarr0}\intrn\varphi_x(\xi)\hat{f}(\xi)d\xi&=\intrn\lim_{\varepsilon\rarr0}e^{-\pi\varepsilon|\xi|^2}e^{\ip x\xi}\hat{f}(\xi)d\xi\\
&=\intrn e^{\ip x\xi}\hat{f}(\xi)d\xi\\
&=\F^{-1}(\hat{f})(x)=\F^{-1}(\F f)(x)~~(\forall x\in\R^n)
\end{aligned}
ε → 0 lim ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n ε → 0 lim e − π ε ∣ ξ ∣ 2 e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ = ∫ R n e 2 π i x ξ f ^ ( ξ ) d ξ = F − 1 ( f ^ ) ( x ) = F − 1 ( F f ) ( x ) ( ∀ x ∈ R n ) ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ( g ε ∗ f ) ( x ) \intrn\varphi_x(\xi)\hat{f}(\xi)d\xi=(g_\varepsilon\ast f)(x) ∫ R n φ x ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ = ( g ε ∗ f ) ( x ) { g ε } ε > 0 \lrb{g_\varepsilon}_{\varepsilon>0} { g ε } ε > 0 f ∈ L 1 f\in L^1 f ∈ L 1 ⇒ lim ε → 0 ∥ g ε ∗ f − f ∥ L 1 = 0 ( i . e . g ε ∗ f → f i n L 1 ) \rArr\lim\limits_{\varepsilon\rarr0}\norm{g_\varepsilon\ast f-f}_{L^1}=0~(i.e.~g_\varepsilon\ast f\rarr f~in~L^1) ⇒ ε → 0 lim ∥ g ε ∗ f − f ∥ L 1 = 0 ( i . e . g ε ∗ f → f i n L 1 ) ⇒ ∃ ε j → 0 ( j → ∞ ) s . t . g ε j ∗ f → f a . e . x ∈ R n \rArr\exist\varepsilon_j\rarr0(j\rarr\infty)~s.t.~g_{\varepsilon_j}\ast f\rarr f~a.e.~x\in\R^n ⇒ ∃ ε j → 0 ( j → ∞ ) s . t . g ε j ∗ f → f a . e . x ∈ R n g ε ∗ f → F − 1 ( F f ) ( x ) , ∀ x ∈ R n g_\varepsilon\ast f\rarr\F^{-1}(\F f)(x),\forall x\in\R^n g ε ∗ f → F − 1 ( F f ) ( x ) , ∀ x ∈ R n F − 1 ( F f ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n \F^{-1}(\F f)=f(x)~a.e.~x\in\R^n F − 1 ( F f ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n 3 ∘ 3^\circ 3 ∘ F ( F − 1 f ) ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n \F(\F^{-1}f)(x)=f(x)~a.e.~x\in\R^n F ( F − 1 f ) ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n
注：(1) f , f ^ ∈ L 1 ⇒ ( f ^ ) ˇ ( x ) = ( f ^ ) ^ ( − x ) ∈ C 0 ( R n ) ⇒ f ˇ ∈ C 0 ( R n ) , ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n f,\hat{f}\in L^1\rArr(\hat f)^{\check{}}(x)=(\hat f)^{\hat{}}(-x)\in C_0(\R^n)\rArr\check{f}\in C_0(\R^n), (\hat f)^{\check{}}(x)=f(x)~a.e.~x\in\R^n f , f ^ ∈ L 1 ⇒ ( f ^ ) ˇ ( x ) = ( f ^ ) ^ ( − x ) ∈ C 0 ( R n ) ⇒ f ˇ ∈ C 0 ( R n ) , ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n ⇒ \rArr ⇒ f ( x ) f(x) f ( x ) f ∈ C ( R n ) f\in C(\R^n) f ∈ C ( R n ) ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ R n (\hat f)^{\check{}}(x)=f(x),\forall x\in\R^n ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ R n f ∈ L 1 , f ^ = 0 a . e . x ∈ R n ⇒ f ^ ∈ L 1 ⇒ ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n f\in L^1,\hat{f}=0~a.e.~x\in\R^n\rArr\hat{f}\in L^1\rArr(\hat f)^{\check{}}(x)=f(x)~a.e.~x\in\R^n f ∈ L 1 , f ^ = 0 a . e . x ∈ R n ⇒ f ^ ∈ L 1 ⇒ ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) a . e . x ∈ R n ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ f = 0 a . e . x ∈ R n (\hat f)^{\check{}}(x)=f(x)=0\rArr f=0~a.e.~x\in\R^n ( f ^ ) ˇ ( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ f = 0 a . e . x ∈ R n
定义（Schwartz空间）S ( R n ) = { f ∈ C ∞ ( R n ) : ∥ f ∥ ( k ) < c k , ∀ k ∈ N } S(\R^n)=\lrb{f\in C^\infty(\R^n):\norm{f}_{(k)}<c_k,\forall k\in\N} S ( R n ) = { f ∈ C ∞ ( R n ) : ∥ f ∥ ( k ) < c k , ∀ k ∈ N } ∥ f ∥ ( k ) = max ∣ α ∣ + l ⩽ k sup x ∈ R n ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) l 2 ∣ ∂ x α f ( x ) ∣
\norm{f}_{(k)}=\max_{|\alpha|+l\leq k}\sup_{x\in\R^n}(1+|x|^2)^\frac{l}2|\partial^\alpha_xf(x)|
∥ f ∥ ( k ) = ∣ α ∣ + l ⩽ k max x ∈ R n sup ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) 2 l ∣ ∂ x α f ( x ) ∣
注：( 1 + ∣ x ∣ 2 ) l 2 ~ ( 1 + ∣ x ∣ ) l . ∃ c = c l s . t . c − 1 ( 1 + ∣ x ∣ ) l ⩽ ( 1 + ∣ x ∣ ) l 2 ⩽ c ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) l (1+|x|^2)^\frac{l}2\text{\textasciitilde}(1+|x|)^l.~\exist c=c_l~s.t.~c^{-1}(1+|x|)^l\leq(1+|x|)^\frac{l}2\leq c(1+|x|^2)^l ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) 2 l ~ ( 1 + ∣ x ∣ ) l . ∃ c = c l s . t . c − 1 ( 1 + ∣ x ∣ ) l ⩽ ( 1 + ∣ x ∣ ) 2 l ⩽ c ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) l
称S ( R n ) S(\R^n) S ( R n )
f ∈ S ( R n ) ⇒ f\in S(\R^n)\rArr f ∈ S ( R n ) ⇒ ( 1 + ∣ x ∣ ) l ∣ ∂ x α f ( x ) ∣ < c k , ∀ x ∈ R n , ∀ α , l , ∣ α ∣ + l ⩽ k (1+|x|)^l|\partial^\alpha_xf(x)|<c_k,\forall x\in\R^n,\forall\alpha,l,|\alpha|+l\leq k ( 1 + ∣ x ∣ ) l ∣ ∂ x α f ( x ) ∣ < c k , ∀ x ∈ R n , ∀ α , l , ∣ α ∣ + l ⩽ k i . e . ∣ ∂ x α ( x β f ( x ) ) ∣ < c k , ∀ x ∈ R n ( ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ⩽ k ) i.e.~|\partial^\alpha_x(x^\beta f(x))|<c_k,\forall x\in\R^n(|\alpha|+|\beta|\leq k) i . e . ∣ ∂ x α ( x β f ( x ) ) ∣ < c k , ∀ x ∈ R n ( ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ⩽ k )
定理 若f ∈ S ( R n ) f\in S(\R^n) f ∈ S ( R n ) f ^ ∈ S ( R n ) \hat f\in S(\R^n) f ^ ∈ S ( R n )
注：S ( R n ) ⊂ L 1 ( R n ) S(\R^n)\subset L^1(\R^n) S ( R n ) ⊂ L 1 ( R n ) L 1 ( R n ) L^1(\R^n) L 1 ( R n ) S ( R n ) S(\R^n) S ( R n )
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