$\gdef\lrb#1{\lbrace#1\rbrace}$
定义 设$G$是非空集合，映射$G\times G\rarr G$称为$G$上的一个二元运算. 对$(a,b)\in G\times G,(a,b)$的像记作$ab$或$a+b$.
定义 设$G$是非空集合，并在$G$上定义了一个二元运算，若
(i) 结合律: 对任意的$a,b,c\in G$, 有$a(bc)=(ab)c$;
(ii) 单位元: 存在$e_G\in G$，使得对任意$a\in G,ae_G=e_Ga=a$;
(iii) 可逆元: 对任意$a\in G$，存在$a$的逆元$a^{-1}\in G$,使得$a^{-1}a=aa^{-1}=e_G$.
则$G$称为群.
若群G满足
(iv) 交换性: 对任意的$a,b\in G$有$ab=ba$.
则称$G$是Abel群或交换群.
若$G$是有限群，则$|G|$称为$G$的阶.
若无特殊说明，本课程只考虑Abel群.
定义 设$G$和$H$是群，$f:G\rarr H$是群之间的一个映射，若对任意的$a,b\in G$，有$f(ab)=f(a)f(b)$，则称$f$是$G$到$H$的一个群同态.
若$f$是满的，称为满同态；若$f$是单的，称为单同态；若$f$是双射，称为同构，记为$G\cong H$
注：设$e_G$和$e_H$分别是$G$和$H$的单位元，若$f$是$G$到$H$的同态，则$f(e_G)=f(e_H)$.
定义 设$f:G\rarr H$是群同态，称$$
Kerf=\lbrace a\in G|f(a)=e_H\rbrace
$$ 为$f$的核.
称$$
Imf=\lbrace f(a)|a\in G\rbrace
$$ 为$f$的像.
定理1 设$f:G\rarr H$为群同态，则
(i) $f$是单同态当且仅当$Kerf=\lbrace e_G\rbrace$.
(ii) $f$是同构当且仅当存在同态$g:H\rarr G$使得$fg=1_H,gf=1_G$.
定义 设$H$是群$G$的非空子集，若在$G$的运算下，$H$构成群，则称$H$是$G$的一个子群，记为$H<G$.
定理2 设$H$是群$G$的非空子集，对任意$a,b\in H$，若$ab^{-1}\in H$，则$H$是$G$的子群.
定义 设$X$是群$G$的一个子集，$G$中包含$X$的最小子群称为$X$的生成子群，记为$<X>$.
由一个元素生成的子群$<a>$称为循环(子)群.
定理3 设$G$是群，$X$是$G$的一个子群，则$$ <X>=\lbrace a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_t^{n_t}|a_i\in X,n_i\in\Z\rbrace $$ 定理4 每个无限循环群同构于加法群$\Z$，每个有限循环群同构于加法群$\Z/(m)$. 循环群的子群和同态像都是循环群.
定义 设$G$是群，$a\in G$，循环子群$<a>$的阶称为元素$a$的阶，记为$ord~a$.
定义 设$H$是群$G$的子群，$a,b\in G$，若$ab^{-1}\in H$，则称$a$模$H$同余$b$.
注：设$H$是群$G$的子群
(i) 模$H$同余是$G$上的一个等价关系.
(ii) 设$a\in G$，在模$H$同余下，$a$的等价类为$aH=\lbrace ah|h\in H\rbrace$. 称$aH$为$H$在$G$中的陪集.
(iii) 对任意$a\in G,|H|=|aH|$.
(iv) $G$是$H$的陪集之并.
(v) $G$中$H$的二个陪集或者不交或者相等，并且对$a,b\in G$,$$
aH=bH\lrArr a^{-1}b\in H
$$ (vi) 设$G$是有限群，$K<H<G$，$G$中所有$H$的陪集个数称为$H$在$G$中的指数, 记为$[G:H]$，则$$
[G:K]=[G:H][H:K]
$$ 特别，$|G|=[G:H]|H|$.
(vii) 设$G$是有限群，$a\in G$，则$a$的阶$ord~a$整除群$G$的阶$|G|$.
定理5 设$N$是$G$的子群，记$G/N$表示$N$的陪集之集，则$G/N$在$(aN)(bN)=abN$的运算规则下构成群，单位元为$N$. 此时$G/N$为$G$关于$N$的商群.
定理6 设$N$是$G$的子群，则$$ g:\begin{cases}G\rarr G/N\\a\mapsto aN\end{cases} $$ 是满同态且$ker~g=N$.
证明：(1)$g(ab)=abN=(aN)(bN)=g(a)g(b)$，$g$是同态.
(2) $g$是满的.
(3) $ker~g=N$，对$a\in N$有$g(a)=aN=N$，所以$N\subseteq ker~g$. 反之，设$g(a)=N$则$aN=N$，从而$a\in N$，即$ker~g\subseteq N$.
定理7(第一同态基本定理) 设$f:G\rarr H$是群同态，则$f$诱导出群同构$$
\bar f:\begin{cases}G/ker~f\rarr Im~f\\aker~f\mapsto f(a)\end{cases}
$$ 证明：记$N=ker~f$.
(1) $\bar f$是同态: $\bar f((aN)(bN))=\bar f(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=\bar f(aN)\bar f(bN)$
(2) $\bar f$是满的: 对任意$a\in G$，即对任意$f(a)\in Im~f$有$\bar f(aN)=f(a)$
(3) $\bar f$是单的: 设$aN\in G/N$, 使得$\bar f(aN)=e_H$则$f(a)=e_H$，所以$a\in N$即$aN=N$. (定理1)
定义 设集合$A$含加法运算"+"和乘法运算"·"，若满足
(i) 对于加法运算，$A$构成Abel群
(ii) 乘法运算满足结合律
(iii) 对任意$x,y,z\in A$满足分配律$$
(x+y)z=xz+yz,z(x+y)=zx+zy
$$ 则称$A$是环. 若乘法是交换的，称$A$是交换环.
若无特别说明，以下均为交换环
环的一些基本概念：
(i) 单位元：若存在$1_A\in A$使得对任意$a\in A$有$a1_A=1_Aa=a$则称$1_A$是$A$的单位元
(ii) 可逆元：$a\in A$，存在$a^{-1}\in A$使得$aa^{-1}=1$
(iii) 零因子：对非零元$a,b\in A$若$ab=0$则称$a$是零因子(b也是)
(iv) 整环：含单位元的无零因子环
(v) 若$K$是整环且每个非零元都可逆，称$K$是域
(vi) 子环：设$B$是环$A$的子集，若对$A$的加法和乘法，$B$构成环，则称$B$是$A$的子环
(vii) 理想：设$J$是环$A$的子环，若对任意$a\in A$和$b\in J$有$ab\in J$，则称$J$是$A$的一个理想
例：设$S=\lbrace \alpha_1,\cdots,\alpha_n\rbrace$是$A$的子集，则$(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\lbrace c_1\alpha_1,\cdots,c_n\alpha_n|c_1,\cdots,c_n\in A\rbrace$是$A$的一个理想，称为有限生成理想.
(viii) 主理想：对$\alpha\in A$称$(\alpha)=\lbrace c\alpha|c\in A\rbrace$是主理想.
(ix) 素理想：设$P\not=A$是环$A$的一个理想，$I,J$是$A$中任意两个理想，若$IJ\subseteq P$，就有$I\subseteq P$或$J\subseteq P$，则称$P$是$A$的一个素理想, 其中$$
IJ=\lbrace a_1b_1+\cdots+a_nb_n|a_i\in I,b_i\in J\rbrace
$$ 注：设$P\neq A$是$A$的一个理想，则$P$是$A$的素理想当且仅当对任意$a,b\in A,~ab\in P\rArr a\in P$或$b\in P$
(x) 极大理想：设$M\neq A$是环$A$的理想，若对于满足$M\subseteq I\subseteq A$的理想$I$都有$I=A$或者$I=M$，则称$M$是$A$的一个极大理想
注：(1) 极大理想必是素理想 (2) 每个不等于$A$的理想都包含在一个极大理想中 (3) $\lbrace0\rbrace$是$A$的素理想当且仅当$A$是整环.
(xi) 商环(剩余类环) 设$A$是环，$I$是$A$的理想，则$A$的加法群商群$A/I$在连同下列定义的乘法运算构成环，称为商环$$ (a+I)(b+I)=ab+I $$ 注：加法运算为 $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$
注：设$A$是非零环，$M$是$A$的一个理想，则$M$是极大理想当且仅当$A/M$是域.
(xii) 同态，同态核，同构，同态基本定理.
群$G$的子群是比$G$小的群，现在我们由群$G_1$和$G_2$构造一个更大的群. 考虑集合$G_1\times G_2=\lbrace(g1,g2):g_1\in G_1,g_2\in G_2\rbrace$. 如果$G_1$和$G_2$分别有n和m个元素，则集合$G_1\times G_2$有mn个元素. 定义如下运算$$ (g_1,g_2)\cdot(h_1,h_2)=(g_1h_1,g_2h_2) $$ 则$G_1\times G_2$形成群，叫做群$G_1$和$G_2$的直积.$$ (g_1,g_2)^{-1}=(g_1^{-1},g_2^{-1}) $$ 类似可定义多个群$G_1,G_2,\cdots,G_n$的直积$$ G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n $$ 考虑映射$\varphi:G_i\rarr G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n,\varphi(g)=\lbrace1,\cdots,1,g,1,\cdots,1\rbrace$ 这是群的单同态，从而$G_i$同构于$G$的子群$$ \lrb{1}\times\cdots\times\lrb{1}\times G_i\times\lrb{1}\times\cdots\times\lrb{1} $$ 在这种同构下，可把$G_i$看成$G$的子群.
对每个正整数$m$，任意两个$m$阶循环群都彼此同构，所以本质上只有一个$m$阶循环群记成$C_m$.
m阶循环群可用加法群$Z_m=Z/mZ$作为样板，它是由m阶元素$\bar1$生成的：$$
Z_m=\lrb{\bar0,\bar1,\bar1+\bar1=\bar2,\cdots,(m-1)\bar1=\overline{m-1}}
$$ 当m为素数p时，p阶群一定是循环群，因为取群中一个元素$g\neq1$，则g必为p阶元素.
如果$m\geq2$并且m不是素数，m阶群可以有多种不同的群结构.
定理：设$m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_g^{e_g}\geq2$则$$
C_m\cong C_{p_1^{e_1}}\times C_{p_2^{e_2}}\times\cdots\times C_{p_g^{e_g}}
$$ 证明：只需证明若$m=ab$(ab为互素正整数)，则$C_m\cong C_a\times C_b$. 设$C_m$由元素$g$生成即$C_m=\lrb{1,g,\cdots,g^{m-1}}$而$g$为$m$阶元素.
取$h=g^a,l=g^b$则$h,l$分别是$b$阶和$a$阶元素，从而$C_a=\lrb{1,l,\cdots,l^{a-1}}$和$C_b=\lrb{1,h,\cdots,h^{b-1}}$是a阶和b阶循环群.
作映射$f:C_a\times C_b\rarr C_m,f(g_1,g_2)=g_1g_2(g_1\in C_a,g_2\in C_b)$，这是群同态.
若$g_2=h^\lambda=g^{a\lambda},g_1=l^\mu=g^{b\mu}$则$f(g_1,g_2)=g^{a\lambda+b\mu}$
由于$(a,b)=1$，存在$\lambda,\mu\in\Z$使得$a\lambda+b\mu=1$，于是$g=g^{a\lambda+b\mu}\in Im(f)$. 但是$Im(f)$为$C_m$的子群，而$C_m$由$g$生成，可知$Im(f)$为整个群$C_m$，即$f$是满同态.
由于$C_a\times C_b$和$C_m$均有m个元素，如果$f$是满射，则必为单射，所以$f$是群同构，即$C_m\cong C_a\times C_b$.
证2：只需证$Z_m\cong Z_a\times Z_b$，考虑映射$f:Z_m\rarr Z_a\times Z_b,x(mod~m)\rarr (x(mod~a),x(mod~b))$，$x(mod~m)$表示x模m的同余类$x+mZ$，若$x\equiv y(mod~m)$则$x\equiv y(mod~a)$和$x\equiv y(mod~b)$，因为a和b为m的因子. f是加法群同态.
$Z_a\times Z_b$的零元素为$(0(mod~a),0(mod~b))=(aZ,bZ)$
如果$f$把$x(mod~m)$映成$(aZ,bZ)$即$x\equiv0(mod~a),x\equiv0(mod~b)$. 由$(a,b)=1$知$x\equiv0(mod~ab),ab=m$
于是$x(mod~m)$为$Z_m$中零元素，这表明$f$是单同态，而两边均是m元集合，可知f是满同态，从而f为群同构.
$f$是满同态意味着：对任意$c_1,c_2\in\Z$均有$x\in\Z$使$x(mod~m)$在$f$下像为$(c_1(mod~a),c_2(mod~b))$这就表明同余方程组$\begin{cases}x\equiv c_1(mod~a)\\x\equiv c_2(mod~b)\end{cases}$必有解$x\in\Z$，而且由于$f$是单射，此同余方程组的全部整数解是模m的一个同余类（即原像只为$Z_m$中一个元素），本质上这就是中国剩余定理.
有限交换群的特征群
定义：设$G$是有限交换群，$G$到非零复数乘法群$C^\ast$的群同态，$\chi:G\rarr C^\ast$(即$\chi(gh)=\chi(g)\chi(h)$)都叫做群$G$的一个特征.
例如将$G$中每个元素均映为1的同态，这是群$G$的特征，叫做平凡特征.
如果$G$是n阶交换群，则$G$中每个元素$g$的阶都是n的因子，特别的$g^n=1$. 于是对$G$的每个特征$\chi$:$$
1=\chi(1)=\chi(g^n)=\chi(g)^n
$$ 这表明$\chi(g)$是n次单位根.
记$\zeta_n=e^\frac{2\pi i}{n}=cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}n$，则n阶交换群的特征$\chi$均取值于n阶循环群$$
\Lambda_n=\lrb{1,\zeta_n,\zeta_n^2,\cdots,\zeta_n^{n-1}}
$$ 之中，即群$G$的每个特征$\chi$都是$G$到乘法群$\Lambda_n$的群同态.
如果$G=\lrb{1,g,\cdots,g^{n-1}}$是n阶循环群，其中$g$为n阶元素，则对$G$的每个特征$\chi$，$\chi(g)\in\Lambda_n$，因此$\chi(g)=\zeta^a_n(0\leq a\leq n-1)$.
然后对$G$中每个元素$g^b$则有$$
\chi(g^b)=\chi(g)^b=\zeta^{ab}_n(0\leq b\leq n-1)
$$，把这个特征记为$\chi_a$，于是n阶循环群共有n个特征$\zeta_a(0\leq a\leq n-1)$.
定义 设$G$是有限交换群，对于$G$的两个特征$\chi,\chi'$，定义一个新的映射$\chi\chi':G\rarr C^*$，其中对每个$g\in G,(\chi\chi')(g)=\chi(g)\chi'(g)$.
$\chi\chi'$也是群的特征，以$\widehat G$表示$G$的全部特征组成的集合，$\widehat G$对上述运算形成群，叫做$G$的特征群.
逆元素为$\chi^{-1}(g)=\chi(g)^{-1}(g\in G)$.
由于$\chi(g)$为单位根，$\chi(g)^{-1}=\overline{\chi(g)}$(复共轭)
所以$\chi^{-1}$也表示成$\bar\chi$即$$
\bar\chi(g)=\overline{\chi(g)}=\chi(g)^{-1}=\chi(g^{-1})
$$ $\bar\chi$叫做$\chi$的共轭特征.
例如对n阶循环群定义：$G=\lrb{1,g,\cdots,g^{n-1}}$有n个特征，则$\widehat G=\lrb{\chi_a:0\leq a\leq n-1}$，其中$\chi_a(g)=\zeta^a_n$，于是$$ \chi_a(g^b)=\zeta^{ab}_n(0\leq b\leq n-1) $$, 所以特征群也可表示为$\widehat G=\lrb{\chi_a:a\in\Z_n}$，对于$a,a'\in\Z_n$. 由定义$$ (\chi_a\chi_{a'})(g)=\chi_a(g)\chi_{a'}(g)=\zeta^a_n\zeta_n^{a'}=\zeta^{a+a'}_n=\chi_{a+a'}(g) $$ 这表明$\chi_a\chi_{a'}=\chi_{a+a'}$，所以映射$f:\widehat{G}\rarr\Z_n,\chi_a\mapsto\overline{a}$(模n同余类)是特征群$\widehat{G}$到加法群$\Z_n$的群同态，进而是群同构，所以$\widehat{G}$是n阶循环群，所以$\widehat{G}$和$G$是同构的.
例1. 加法群$Z_m$是m阶循环群，由m阶元素1生成，所以它的特征群为$\lrb{\chi_a:a\in\Z_n}$，其中$\zeta_m=e^\frac{2\pi i}{m}.\chi_a(1)=\zeta^a_m$从而$\chi_a(b)=\zeta^{ab}_m$. 比如加法群$Z_4$的4个特征为$(i=\sqrt{-1}=\zeta_4)$
| b | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $\chi_0(b)$ | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $\chi_1(b)$ | 1 | $i$ | -1 | $-i$ |
| $\chi_2(b)$ | 1 | -1 | 1 | -1 |
| $\chi_3(b)$ | 1 | $-i$ | -1 | $i$ |
例2. 对于奇素数$p$，乘法群$Z^*_p$是$p-1$阶循环群，取模p的一个原根$g$，则$Z^*_p=\lrb{1,\bar g,\cdots,\bar g^{p-2}}$，于是$Z^*_p$的特征群为$\lrb{\chi_a:a\in Z^{p-1}}$，其中$\chi_a(\bar g^p)=\zeta^{ab}_{p-1}=e^\frac{2\pi abi}{p-1}$. 比如加法群$Z^*_7=\lrb{1,\bar3,\cdots,\bar3^5}$的六个特征为：
| $\bar a$ | $1$ | $\bar3$ | $\bar3^2=\bar2$ | $\bar3^3=\bar6$ | $\bar3^4=\bar4$ | $\bar3^5=\bar5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\chi_0(\bar a)$ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $\chi_1(\bar a)$ | 1 | $\zeta$ | $\zeta^2$ | $\zeta^3$ | $\zeta^4$ | $\zeta^5$ |
| $\chi_2(\bar a)$ | 1 | $\zeta^2$ | $\zeta^4$ | 1 | $\zeta^2$ | $\zeta^4$ |
| $\chi_3(\bar a)$ | 1 | $\zeta^3$ | 1 | $\zeta^3$ | 1 | $\zeta^3$ |
| $\chi_4(\bar a)$ | 1 | $\zeta^4$ | $\zeta^2$ | 1 | $\zeta^4$ | $\zeta^2$ |
| $\chi_5(\bar a)$ | 1 | $\zeta^5$ | $\zeta^4$ | $\zeta^3$ | $\zeta^2$ | $\zeta$ |
$\zeta=\zeta_6=e^\frac{2\pi i}{6}=\frac12+\frac{\sqrt3}2i$
特征的正交关系
定理：设$G$是n阶交换群，则
(1)对于$\chi,\chi'\in\widehat{G},\displaystyle\sum_{g\in G}\chi(g)\chi'(g)=\begin{cases}n,\chi'=\bar\chi\\0,otherwise\end{cases}$
(2)对于$g,g'\in G,\displaystyle\sum_{\chi\in \widehat{G}}\chi(g)\chi(g')=\begin{cases}n,g'=g^{-1}\\0,otherwise\end{cases}$
证明：(1) $\lambda=\chi\chi'\in\widehat{G}$. 若$\chi'=\bar\chi=\chi^{-1}$，则$\lambda$是平凡特征，于是$$ \sum_{g\in G}\chi(g)\chi'(g)=\sum_{g\in G}\lambda(g)=\sum_{g\in G}1=|G|=n $$ 若$\chi'\neq\bar\chi$，则$\lambda$不是平凡特征，于是有$a\in G$使得$\lambda(a)\neq1$，所以$$ \sum_{g\in G}\chi(g)\chi'(g)=\sum_{g\in G}\lambda(g)=\sum_{g\in G}\lambda(ag)=\sum_{g\in G}\lambda(a)\lambda(g)=\lambda(a)\sum_{a\in G}\lambda(g) $$ 由于$\lambda(a)\neq1$，则$\displaystyle\sum_{g\in G}\lambda(g)=0$
(2) 若$g'=g^{-1}$，则$\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(g)\chi(g')=\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(gg')=\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat{G}}1=n$
若$g'\neq g^{-1}$则$a=gg'\neq1$，下证：存在$\lambda\in\widehat{G}$使得$\lambda(a)\neq1$
由于$a\neq1$，所以a的阶$m\geq2$. 由a生成$G$的m阶循环子群即为$H$，于是商群$G/H$的阶为$\frac{n}m$
对于$\chi\in\widehat{G}$，若$\chi(a)=1$，则$\chi(H)=1$，从而对于对每个$g\in G,\chi(gH)=\chi(g)$. 因此可看成是商群$G/H$的特征.
反之，群$G/H$的每个特征$\chi$可看成是$G$的特征：$\chi(g)=\chi(gH)$，这时$\chi(a)=\chi(aH)=\chi(H)=1$. 由于群$G/H$的特征有$\frac{n}m$个，群$G$的特征有n个，而$\frac{n}m<n$. 所以必存在$\lambda\in\widehat{G}$，使得$\lambda(a)\neq1$，于是$$
\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(g)\chi(g')=\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(a)=\sum_{\chi\in\widehat{G}}(\lambda\chi)(a)=\sum_{\chi\in\widehat{G}}\lambda(a)\chi(a)=\lambda(a)\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(a)
$$ 由$\lambda(a)\neq1$可知，$\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(a)=0$,即当$gg'\neq1$时，$\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat{G}}\chi(g)\chi(g')=0$.
定义 一个域若没有真子域，则称为素域.
定理8 一个域的素子域同构于$\Z/p$或有理数域$\mathbb Q$
定义 设$K$是域$F$的子域，$S$是$F$的子集，记$K(S)$表示$F$中包含$K$和$S$的最小子域，即$F$中包含$K$和$S$的所有子域之交.
对有限的$S=\lrb{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\subseteq F$，记$K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=K(S)$，并称$K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$是有限生成扩张.
对元素$\alpha\in F$，称$K(\alpha)$是$K$的单扩张.
定义 设$K$是$F$的子域，$\alpha\in F$，若存在非零$f(x)\in K[x]$，使得$f(\alpha)=0$，则称$\alpha$是$K$上的代数元.
若$F$中每个元素都是$K$上的代数元，则称$F$是$K$的代数扩张.
例如：
$\sqrt2$是有理数域$\mathbb Q$上的代数元，因为它是多项式$x^2-2\in Q[x]$的根.
圆周率$\pi$和$e=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n!}$在$\mathbb Q$上是超越的.
对于$K$上的每个超越元素$x,K[x]$是多项式环，包含它的最小域是有理函数域$K(x),K(x)$中元素为多项式之商$\frac{f(x)}{g(x)}$(其中$f(x),g(x)\in K[x],g(x)\neq0$)，叫做有理函数.
扩张$K(x)/K$的次数是无限的，因为$K$上向量空间$K(x)$的一组基必包含无限多个元素(比如$1,x,x^2,\cdots,x^n,\cdots$在$K$上是线性无关的)
定义 设$\alpha$是$K$的代数元，$K[x]$中使得$f(\alpha)=0$的次数最小的首一多项式称为$\alpha$在$K$上的极小多项式.
注：极小多项式必定唯一且不可约.
注：设$\alpha\in F$是$K$的代数元，记$$
J=\lrb{f(x)\in K[x]|f(\alpha)=0}
$$ 显然$J$是$K[x]$的一个理想，从而也是主理想.
$J$中首项系数为1的生成元就是$\alpha$在$K$上的极小多项式. 任意满足$g(\alpha)=0$的$g(x)\in K[x]$都是$\alpha$的极小多项式的倍式.
定义 设$K$是$F$的子域，则$F$自然看成$K$上的向量空间；若是有限维的，则称$F$是$K$的有限维扩张，维数记为$[F:K]$，也称$F$关于$K$的扩张次数.
注： 有限维扩张必是代数扩张.
定理9 设$F$是$K$是有限维扩张，$L$是$F$的有限维扩张，则$L$是$K$的有限维扩张且$$
[L:K]=[L:F][F:K]
$$ 定理10 设$F$是$K$的扩域，$\alpha\in F$是$K$的代数元，$g(x)\in F[x]$是$\alpha$的极小多项式，$deg~g(x)=n$，则
(1) $K(\alpha)$同构于$K[x]/(g(x))$
(2) $[K(\alpha):K]=n$,并且$\lrb{1,\alpha,...,\alpha^{n-1}}$构成$K(\alpha)/K$的一组基
(3) 任意$\beta\in K(\alpha)$是$K$的代数元，且$\beta$在$K$上的极小多项式次数整除n
注：设$g(x)$是$K$上不可约多项式，则$K[x]/(g(x))$可视为$K$的扩域，并且有$\alpha\in K[x]/(g(x))$是$g(x)$的根，进一步有$K[x]/(g(x))=K(\alpha)$
例如：$\sqrt2$在Q上的极小多项式为$x^2-2$，所以$Q[\sqrt2]$是域，$\lrb{1,\sqrt2}$是域$Q[\sqrt2]$的一组$Q-$基，即$L$中元素唯一的表示为$a+b\sqrt2(a,b\in Q)$, 当$a+b\sqrt2\neq0$时它的逆为$\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2$
域$K$叫作代数封闭域，是指每个在$K$上代数的元素均属于$K$.($K$中元素$\alpha$在$K$上也是代数的，它的极小多项式为$x-a$). 即$K[x]$中每个非零多项式在$K$中均有根，比如复数域是代数封闭域.
对于任意域$K$，可以把$K$上代数的所有元素添加到$K$中，所形成的域叫作$K$的代数闭包，表示成$K^{ac}$，可以用以下两个性质刻画：
(1) $K^{ac}$中元素均在$K$上代数
(2) $K$上代数的元素均属于$K^{ac}$
例如：复数域$C$不是有理数域Q的代数闭包，因为C中有许多在Q上超越的元素，C比$Q^{ac}$要大.
对于$F[x]$中多项式重根的判断，方法和复数域的情形一样
定理：设$F$是域，$F^{ac}$是$F$的一个代数闭包，则$F[x]$中非零多项式$f(x)$在$F^{ac}$中有重根的充分必要条件为$(f(x),f'(x))\neq1$.
对于$F=Q,R,C$时，$F[x]$中不可约多项式都没有重根.
但是当$F$为$F_q$的某些扩域时，$F[x]$中不可约多项式可能会有重根.
例如：设$t$是二元域$F_2=\lrb{0,1}$上的超越元素，$F=F_2(t)$为有理函数域. $F[x]$中多项式$f(x)=x^2-t$是不可约的，因为它的根$\sqrt{t}$不属于$F=F_2(t)$.
但是$f'(x)=2x=0,(f(x),f'(x))\neq1$，所有$f(x)=x^2-t$在$F$的代数闭包上有重根，$f(x)=x^2-(\sqrt{t})^2=(x-\sqrt{t})^2$，即$\sqrt{t}$为二重根.
定理 对于有限域$F_p,F_p[x]$中不可约多项式在$F_p$的代数闭包中没有重根.
证明：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$是$F_p[x]$中n次不可约多项式，如果$f(x)$有重根，$(f(x),f'(x))\neq1$. 由于$f(x)$不可约，则$f'(x)\equiv0$，因此$ia_i=0$，所以$f(x)$的系数不为0时，必然$i=0$，即$p|i$，所以$f(x)$是$x^p$的多项式，$f(x)=\sum^l_{j=0}c_jx^{jp}$，而$c_j=c_j^p$，所以$$
f(x)=\sum_{j=0}^lc^p_jx^{jp}=(\sum^l_{j=0}c_jx^j)^p
$$，与$f(x)$不可约矛盾.
定义 设$f(x)\in K[x]$，$F$是$K$的扩域，若存在$\alpha_1,...,\alpha_n\in F$，使得$$ f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n) $$ 其中$a$是$f(x)$首项系数，则称$f(x)$在$F$中分裂. 进一步，若$F=K(\alpha_1,...,\alpha_n)$，则称$F$是$f(x)$在$K$上的分裂域.